Title: Ondes

Q: Qu'est-ce qu'une onde progressive?
A: C'est une onde qui se propage sans se déformer. Elle prend la forme
[$$] \varphi(x,\, t) = f(x - c\, t) [/$$]
pour une onde progressive vers les [$]x[/$] croissants, et
[$$]\varphi(x,\, t) = g(x + c\, t) [/$$]
pour une onde progressive vers les [$]x[/$] décroissants. Notons que les écritures
[$$]f(c\, t - x) [/$$]
ou
[$$]f\Big(t - \frac{x}{c} \Big) [/$$]
sont complètement équivalentes.

Q: Qu'est-ce qu'une onde progressive harmonique?
A: C'est une onde de la forme
[$$] y(x,\, t) = y_0\, \cos (\omega\, t - k\, x + \varphi) [/$$]
pour une onde se propageant vers les [$]x[/$] croissants. Ce type d'onde présente une double périodicité, spatiale et temporelle.

Q: Quel est le lien entre pulsation et fréquence?
A: [$$] \omega = 2\, \pi\, f [/$$]
Cette relation est toujours vraie. C'est une définition.

Q: Quel est le lien entre vecteur d'onde et longueur d'onde?
A: [$$] \overrightarrow{k} = \frac{2\, \pi}{\lambda}\, \overrightarrow{u} [/$$]
avec [$]\overrightarrow{u}[/$] le vecteur unitaire qui donne la direction et le sens de propagation de l'onde. Cette relation est toujours vraie, c'est une définition.

Q: Qu'appelle-t-on une relation de dispersion?
A: C'est le lien entre la pulsation et le vecteur d'onde d'une onde progressive harmonique vérifiant une équation d'onde.
[$$]\omega = f(k)[/$$]
Ajoutons que la relation de dispersion est équivalente à l'équation d'onde.

Q: Comment s'écrit l'équation de d'Alembert pour une onde [$]y(x,\, t)[/$] ?
A: [$$] \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 [/$$]
avec [$]c[/$] la célérité de l'onde.

Q: Quel est le lien entre période et fréquence?
A: [$$] T = \frac{1}{f} [/$$]

Q: Comment s'appelle l'inverse de la longueur d'onde?
A: C'est le nombre d'onde
[$$]\nu = \frac{1}{\lambda} [/$$]
Il est peu utilisé en physique mais c'est la grandeur habituelle dans laquelle sont tracés les spectres infrarouges en chimie.

Q: Quelle est la relation de dispersion de l'équation de d'Alembert?
A: [$$] \omega = c\, k [/$$]
qui s'écrit également
[$$] \lambda = c\, T = \frac{c}{f} [/$$]

Q: Qu'est-ce qu'une onde stationnaire?
A: C'est une onde qui ne propage pas, c'est-à-dire qu'elle oscille sur place. Mathématiquement, elle prend la forme
[$$] \varphi(x,\, t) = f(x)\, g(t) [/$$]
Remarquons qu'une onde stationnaire qui vérifie l'équation de d'Alembert est forcément sinusoïdale (c'est l'exemple de la corde de Melde). Savez-vous le démontrer?

Q: Que vaut la célérité de la lumière dans le vide?
A: [$$] c = 3 \times 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} [/$$]

Q: Que vaut la célérité du son dans l'air (dans les CNTP)?
A: [$$] c \approx 340 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} [/$$]
Cette célérité dépend de la température
[$$] c = \sqrt{\frac{\gamma\, R\, T}{M} } [/$$]

Q: Quelles sont les longueurs d'onde des modes propres d'une corde de longueur [$]L[/$] ?
A: [$$] \lambda_n = \frac{2\, L}{n} [/$$]

Q: Quelles équations écrit-on pour trouver les coefficients de réflexion/transmission sur une corde?
A: On traduit la continuité de la corde (continuité de [$]y[/$]) et la continuité de la tension (continuité de [$]\partial y / \partial x[/$]).

Q: Comment définit-on le coefficient de réflexion dans un problème de réflexion/transmission sur une discontinuité de corde?
A: [$$]\underline{r} = \frac{\underline{y_r}(x=0,\, t)}{\underline{y_i}(x=0,\, t)}[/$$]
c'est le rapport de l'amplitude de l'onde réfléchie sur celle de l'onde incidente, au niveau de la discontinuité (en [$]x=0[/$]).

Q: Quel type d'équation faut-il écrire pour déterminer les coefficients de réflexion et de transmission d'une onde sur une interface?
A: Il faut écrire des conditions aux limites sur l'interface. Souvent, il s'agit de traduire la continuité de certaines grandeurs (pour la corde, continuité de l'amplitude de l'onde et de la tension; pour les ondes sonores, continuité de la surpression et de la vitesse;...)

Q: Qu'appelle-t-on approximation acoustique?
A: C'est le fait de considérer les perturbations par rapport à l'équilibre (ainsi que toutes leurs dérivées) comme des infiniment petits d'ordre 1 devant les grandeurs d'équilibre.
Plus précisément, en cours nous considérons la surpression [$]p_1[/$], la sur-vitesse [$]\overrightarrow{v_1}[/$] et la sur-masse volumique [$]\mu_1[/$]. L'approximation acoustique s'écrit
[$$] p_1 \ll P_0 [/$$]
[$$]|| \overrightarrow{v_1} || \ll c [/$$]
[$$] \mu_1 \ll \mu_0 [/$$]
si [$]P_0[/$] est la pression d'équilibre, [$]c[/$] la célérité du son et [$]\mu_0[/$] la masse volumique du fluide à l'équilibre.

Q: Écrire l'équation d'Euler linéarisée.
A: [$$] \mu_0\, \frac{\partial \overrightarrow{v_1}}{\partial t} = - \overrightarrow{\text{grad}}\, p_1 [/$$]

Q: Écrire l'équation thermodynamique linéarisée (pour les ondes sonores dans les fluides)
A: [$$] \mu_1 = \mu_0\, \chi_S\, p_1 [/$$]

Q: Écrire l'équation de conservation de la masse linéarisée.
A: [$$]\frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0\, \text{div}\, \overrightarrow{v_1} = 0[/$$]

Q: Écrire l'équation de conservation de la masse linéarisée à une dimension.
A: [$$]\frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0\, \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0[/$$]

Q: Définition du coefficient de compressibilité [$]\chi_S[/$]
A: [$$] \chi_S = - \left. \frac{1}{V}\, \frac{\partial V}{\partial P} \right|_S [/$$]
On peut montrer qu'il s'écrit de manière équivalente
[$$] \chi_S = \left. \frac{1}{\mu}\, \frac{\partial \mu}{\partial P} \right|_S [/$$]

Q: Célérité des ondes sonores dans un fluide.
A: [$$] c = \frac{1}{ \sqrt{ \mu_0\, \chi_S} } [/$$]

Q: Quel est le lien entre l'onde de survitesse et l'onde de surpression pour une OPPH?
A: [$$] \overrightarrow{v_1} = \frac{p_1}{Z}\, \overrightarrow{u} [/$$]
si [$]\overrightarrow{u}[/$] est la direction (et le sens) de propagation de l'onde et où [$]Z[/$] est l'impédance acoustique du milieu.

Q: Définition de l'impédance acoustique
A: [$$]Z = \mu_0\, c = \sqrt{ \frac{\mu_0}{\chi_S} }[/$$]
Attention! Ce n'est pas en Ohm! Ce n'est pas une impédance électrocinétique.

Q: Définition du vecteur de Poynting sonore.
A: [$$] \overrightarrow{\pi} = p_1\, \overrightarrow{v_1} [/$$]

Q: Quelle est la signification du vecteur de Poynting sonore?
A: Il représente une puissance surfacique acoustique. En d'autres termes, la puissance (énergie par unité de temps) qui traverse une surface [$]S[/$] s'écrit
[$$]\mathcal{P} = \iint_S \overrightarrow{\pi}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d}S} [/$$]
et l'énergie qui traverse [$]S[/$] pendant [$]\text{d}t[/$] est
[$$]\text{d} \mathcal{E} = \bigg( \iint_S \overrightarrow{\pi}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d}S} \bigg)\, \text{d}t [/$$]

Q: Quelle est la définition de l'intensité sonore?
A: [$$]I = || \langle \overrightarrow{\pi} \rangle ||  [/$$]

Q: Quelles conditions aux limites écrit-on pour calculer les coefficients de réflexion et de transmission en surpression à l'interface entre deux milieux d'impédances acoustiques différentes?
A: Il y a continuité de la pression et continuité de la vitesse.

Q: Quelle est la définition de l'intensité sonore en décibels?
A: [$$]I_\text{dB} = 10\, \log \Big( \frac{I}{I_0} \Big)[/$$]
avec [$]I_0[/$] l'intensité sonore au seuil d'audition
[$$] I_0 = 10^{-12} \text{ W}\, \cdot\, \text{m}^{-2} [/$$]

Q: En décibels, quelle est l'intensité sonore au seuil d'audition? et au seuil de douleur?
A: Respectivement
[$$] I_\text{dB} = 0 \text{ dB} [/$$]
et
[$$] I_\text{dB} = 120 \text{ dB} [/$$]

Q: Si on double l'intensité sonore, que devient l'intensité sonore en décibel?
A: Si
[$$] I \longrightarrow I' = 2\, I [/$$]
alors
[$$] I_\text{dB} \longrightarrow I_\text{dB}' = I_\text{dB} + 3 \text{ dB} [/$$]
car [$]10\, \log 2 \approx 0,\!3[/$]

Q: On donne la densité volumique d'énergie acoustique
[$$] e = \frac{1}{2}\, \mu_0\, v_1^2 + \frac{1}{2}\, \chi_S\, p_1^2 [/$$]
Comment s'interprètent les deux termes?
A: Le premier correspond à l'énergie cinétique volumique des particules de fluides. Le second correspond à une énergie élastique volumique (liée à la compression/dilatation des particules de fluides).

Q: Comment se compare la masse volumique d'un gaz et d'un liquide?
Et leur compressibilité isentropique?
A: On a
[$$] \mu(\text{gaz}) \ll \mu(\text{liq}) [/$$]
mais
[$$] \chi_S(\text{gaz}) \gg\gg\gg \chi_S(\text{liq}) [/$$]

Q: Quelles sont les hypothèses posées pour obtenir l'équation de d'Alembert pour l'onde de surpression?
A: On suppose le fluide parfait, on néglige les effets de la pesanteur, et on considère que les transformations thermodynamiques du milieu sont adiabatiques.
Commentons que l'hypothèse de fluide parfait implique que les transformations thermodynamiques sont réversibles donc les transformations sont "adiabatiques + réversibles = isentropiques".

Q: Qu'est-ce qu'une onde plane?
A: C'est une onde qui ne dépend spatialement que d'une seule coordonnée cartésienne.
Les surfaces "iso-ondes" sont donc des plans.

Q: Comment peut-on obtenir le champ de survitesse connaissant le champ de surpression?
A: Dans le cas général, on peut toujours utiliser l'équation d'Euler linéarisée
[$$] \mu_0\, \frac{\partial \overrightarrow{v_1}}{\partial t} = - \overrightarrow{\text{grad}}\, p_1 [/$$]
(Connaissant [$]p_1[/$], il suffit donc d'en calculer le gradient puis d'intégrer par rapport au temps pour obtenir [$]\overrightarrow{v_1}[/$]).
Deuxième méthode, valable seulement dans le cas d'une OPPH :
[$$]\overrightarrow{v_1} = \frac{p_1}{Z}\, \overrightarrow{u} [/$$]
avec [$]\overrightarrow{u}[/$] le vecteur unitaire donnant la direction et le sens de propagation de l'onde.

Q: Équation de d'Alembert tridimensionnelle
A: [$$] \Delta p_1 - \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0 [/$$]

Q: Célérité des ondes sur une corde
A: [$$] c = \sqrt{\frac{T_0}{\mu} } [/$$]
où [$]T_0[/$] est la tension de la corde et [$]\mu[/$] la masse linéïque de la corde.

Q: Fréquence du mode fondamental d'une corde de longueur [$]\ell[/$]
A: [$$]f = \frac{c}{\lambda} [/$$]
or la longueur d'onde du mode fondamental est
[$$]\lambda = 2\, \ell[/$$]
donc
[$$]f = \frac{c}{2\, \ell} = \frac{1}{2\, \ell}\, \sqrt{\frac{T_0}{\mu}} [/$$]
Sur une guitare, on peut jouer sur les trois paramètres [$]\ell,\, T_0,\, \mu[/$].

Q: Comment se traduit le fait qu'une corde soit sans raideur?
A: Les forces de tension sont colinéaires à la corde de sorte que
[$$]T_y = T_x\, \frac{\partial y}{\partial x}[/$$]
(pour les petites vibrations, puisque dans la formule se cache le dévéloppement limité [$]\tan x \approx x[/$] valable seulement aux petits angles).

Q: Qu'est-ce qu'une onde évanescente?
A: C'est une onde stationnaire et exponentiellement atténuée. Elle prend donc la forme
[$$] u(z,\, t)  = u_0\, \text{e}^{-k\, z}\, \cos (\omega\, t) [/$$]
Une onde électromagnétique basse fréquence dans un plasma est de cette forme (voir chapitre O7).

Q: Qu'est-ce qu'un effet de peau?
A: C'est une onde progressive et exponentiellement atténuée. Elle prend la forme
[$$] u(z,\, t) = u_0\, \text{e}^{-k\, z}\, \cos (\omega\, t - k\, z) [/$$]
Une onde électromagnétique basse fréquence dans un conducteur prend cette forme (voir chapitre O8). On les rencontre aussi en mécanique des fluides (TD H2-08) en diffusion thermique (TD D2-13),...

Q: Quelle est la différence entre une onde évanescente et un effet de peau?
A: Les deux sont des ondes exponentiellement atténuées mais l'une est stationnaire (onde évanescente) tandis que l'autre est progressive (effet de peau).

Q: Quelle est la différence entre une équation de d'Alembert et une équation de diffusion?
A: L'une met en jeu une dérivée temporelle d'ordre 1, l'autre d'ordre 2.
L'équation de d'Alembert est
[$$] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0 [/$$]
et l'équation de diffusion est
[$$] \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - D\, \frac{\partial u}{\partial t} = 0 [/$$]
Plus physiquement, l'équation de d'Alembert rend compte d'un phénomène de propagation réversible, et celle de diffusion rend compte d'un phénomène au contraire irréversible.

Q: Pour une onde électromagnétique basse fréquence dans un conducteur, quelle est l'équation d'onde?
A: C'est une équation de diffusion (voir chapitre O8 pour la démonstration) :
[$$]D\, \Delta \vv{E} = \frac{\partial \vv{E}}{\partial t} [/$$]
où le coefficient de diffusion est
[$$] D = \frac{1}{\mu_0\, \gamma} [/$$]
avec [$]\gamma[/$] la conductivité électrique du conducteur.

Q: Quelle est l'équation vérifiée par une onde électromagnétique dans un plasma?
A: C'est l'équation de Klein-Gordon :
[$$] \Delta \vv{E} - \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2 \vv{E}}{\partial t^2} = \frac{\mu_0\, n\, e^2}{m}\, \vv{E} [/$$]
où [$]n[/$] est la densité volumique d'électrons libres dans le plasma.

Q: Citez un exemple de plasma.
A: La ionosphère, une haute couche de l'atmosphère terrestre (au delà de 60 km d'altitude) se comporte comme un plasma.

Q: Quelle est la relation de dispersion de l'équation de Klein-Gordon?
A: [$$] \underline{k}^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} [/$$]
Il y a alors deux domaines : si [$]\omega > \omega_p[/$] alors
[$$]\underline{k} = \pm \frac{\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{c} \in \mathbb{R}[/$$]
et au contraire si [$]\omega < \omega_p[/$] alors
[$$] \underline{k} = \pm\, \text{j}\, \frac{\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{c} \in \text{j}\, \mathbb{R}[/$$]

Q: Quelle est la pulsation plasma de la ionosphère?
A: Elle est de l'ordre de [$]10^{6}\, \text{rad}\, \cdot\, \text{s}^{-1} [/$]
ce qui signifie que les ondes de fréquences inférieures à 1 MHz environ ne peuvent pas s'y propager.

Q: Comment se comporte une onde électromagnétique haute fréquence dans un conducteur?
A: Elle se comporte comme dans un plasma. Pour préciser, elle adopte deux régimes selon que [$]\omega > \omega_p[/$] (propagation sans absorption mais avec dispersion) ou que [$]\omega < \omega_p[/$] (pas de propagation : onde stationnaire atténuée appelée onde évanescente).

Q: Une onde électromagnétique basse fréquence donne lieu à un effet de peau dans un conducteur. Qu'appelle-t-on dans ce contexte les "basses fréquences"?
A: Il y a en fait deux critères :
1. L'ARQS doit être vérifiée, c'est-à-dire que
[$$] \vv{\text{rot}} \vv{B} \approx \mu_0\, \vv{\jmath} [/$$]
2. La période de l'onde doit être grande devant le temps de Drüde [$]\tau[/$], donc sa pulsation doit vérifier [$]\omega\, \tau \ll 1[/$]. Cela conduit à avoir une conductivité électrique réelle
[$$] \vv{\jmath} = \gamma\, \vv{E} [/$$]

Q: Qu'est-ce que le modèle de Drüde?
A: C'est un modèle visant à décrire la trajectoire des électrons dans un conducteur. Il consiste à dire que les électrons sont "freinés" lors de leur trajectoire, cela dans le but de modéliser la résistance électrique du conducteur. On adopte comme force de freinage une force de frottement fluide linéaire
[$$] \vv{f} = -\frac{m}{\tau}\, \vv{v} [/$$]
[$]\tau[/$] est appelé le temps de Drüde. Il est relié à la conductivité du matériau.
Dans ce modèle simple, [$]\tau[/$] s'interprète microscopiquement comme un temps typique entre deux chocs pour l'électron, mais les objets sur lesquels l'électron "choque" sont délicats à décrire (ce ne sont en fait ni les autres électrons, ni les ions du réseau cristallin). Seule la physique quantique permet de décrire décemment la physique des électrons dans les solides (notions complètement hors programme).