Title: Électrocinétique

Q: Solution de
[$$] \frac{d u}{d t} + \frac{u}{R\, C} = \frac{E}{R\, C} [/$$]
A: [$$] u(t) = A\, \exp \Big( -\frac{t}{\tau} \Big) + E [/$$]
avec
[$$] \tau = R\, C [/$$]
et [$] A [/$] s'obtient par la condition initiale.

Q: Lien entre intensité et charge d'un condensateur.
A: [$$] i = \frac{\text{d} q}{\text{d} t} [/$$]

Q: Loi d'Ohm.
A: [$$] u = R\, i [/$$]

Q: Impédance d'un condensateur.
A: [$$] \underline{Z} = \frac{1}{j\, C\, \omega} [/$$]

Q: Loi d'un condensateur.
A: [$$] i = C\, \frac{\text{d} u}{\text{d} t} [/$$]

Q: Loi d'une bobine.
A: [$$] u = L\, \frac{\text{d} i}{\text{d} t} [/$$]

Q: Définition de la puissance.
A: [$$] \mathcal{P} = u\, i [/$$]

Q: Impédance d'une bobine.
A: [$$] \underline{Z} = j\, L\, \omega [/$$]

Q: Pont diviseur de tension. Que vaut [$] \underline{u}_2 [/$]?
A: [$$] \underline{u}_2 = \frac{ \underline{Z}_2}{ \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\, \underline{u}_\text{tot} [/$$]

Q: Lien entre fréquence et pulsation.
A: [$$] f = \frac{\omega}{2\, \pi} [/$$]
soit
[$$] \omega = 2\, \pi\, f [/$$]

Q: Quel est le déphasage induit par la fonction de transfert suivante :
[$$] \underline{H} = \frac{H_0}{1 + j\, R\, C\, \omega} [/$$]
A: [$$] \varphi = \text{arg} (\underline{H}) = -\text{arctan}(R\, C\, \omega) [/$$]

Q: Quel est le gain induit par la fonction de transfert suivante :
[$$] \underline{H} = \frac{H_0}{1 + j\, R\, C\, \omega} [/$$]
A: [$$] G = \frac{H_0}{\sqrt{1 + R^2\, C^2\, \omega^2}} [/$$]
c'est un filtre passe-bas d'ordre 1.

Q: Qu'appelle-t-on le gain en décibel d'un filtre?
A: [$$]G_\text{dB} = 20\, \log G [/$$]
si [$]G = |\underline{H}| [/$] est le gain du filtre.

Q: Quelle est la pulsation de coupure à -3 dB de la fonction de transfert
[$$] \underline{H} = \frac{1}{1 + \text{j}\, R\, C\, \omega} [/$$]
A: [$$] \omega_c = \frac{1}{R\, C} [/$$]
de sorte que l'écriture canonique de cette fonction de transfert est
[$$]\underline{H} = \frac{1}{1 + \text{j}\,  \frac{\omega}{\omega_c} } [/$$]

Comment se câble un montage suiveur?

Comment se câble un filtre [$]RC[/$] passe-bas passif du premier ordre?

Q: On réalise un montage oscillateur en bouclant un filtre de fonction de transfert [$]\underline{H}(\ii\, \omega)[/$] et un amplificateur de fonction de transfert [$]\underline{A}(\ii\, \omega)[/$]. Comment s'écrit la condition d'oscillation?
A: Il faut qu'après un tour de boucle, le signal soit resté identique. Cela s'écrit
[$$] \underline{H}(\ii\, \omega)\, \underline{A}(\ii\, \omega) = 1 [/$$]
En identifiant les parties réelle et imaginaire de cette équation, on obtient la condition sur la phase donnant la pulsation de l'oscillation spontanée et la condition sur le gain qui s'interprète comme "le gain de l'amplificateur doit compenser les pertes du filtre".