Title: Calculs

Q: Solution de
[$$] \frac{d y }{d t} + \frac{y}{\tau} = 0 [/$$]
A: [$$] y(t) = y_0\, \exp \big( - \frac{t}{\tau} \big) [/$$]
où
[$$] y_0 = y(0) [/$$]

Q: Expression de la divergence en cartésien
A: [$$] \text{div} \overrightarrow{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} [/$$]

Q: Solution de
[$$]\ddot{x} + \omega^2\, x = 0 [/$$]
A: C'est l'équation d'un oscillateur harmonique. Les solutions s'écrivent
[$$] x(t) = A\, \cos \omega\, t + B\, \sin \omega\, t [/$$]
ou bien
[$$] x(t) = A\, \cos \big(\omega\, t + \varphi \big) [/$$]
ou encore
[$$] x(t) = A\, \exp (i\, \omega\, t) + B\, \exp (- i\, \omega\, t) [/$$]

Q: Solution de
[$$] \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d} x^2} - \frac{1}{\delta^2}\, \varphi = 0 [/$$]
A: [$$] \varphi(x) = A\, \exp \Big(-\frac{x}{\delta} \Big) + B\, \exp \Big(\frac{x}{\delta} \Big) [/$$]

Q: [$]\cos \alpha = ?[/$]
A: [$$] \cos \alpha = \frac{a}{c} [/$$]

Q: Projeter le poids.
A: [$$] \overrightarrow{P} = m\, g\, \cos \theta\, \overrightarrow{e_r} - m\, g\, \sin \theta\, \overrightarrow{e_\theta} [/$$]

Q: Expression du gradient en coordonnées cartésiennes.
A: [$$] \overrightarrow{\text{grad}} f = \frac{\partial f}{\partial x}\, \overrightarrow{e_x} + \frac{\partial f}{\partial y}\, \overrightarrow{e_y} + \frac{\partial f}{\partial z}\, \overrightarrow{e_z} [/$$]

Q: Expression du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes.
A: [$$] \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} [/$$]

Q: Module de [$$] \underline{a} = 1 + j\, R\, C\, \omega - \omega^2 [/$$]
A: [$$] |\underline{a}| = \sqrt{ \big(1 - \omega^2\big) ^2 + R^2\, C^2\, \omega^2 }[/$$]

Q: [$]c[/$] en fonction de [$]a[/$] et [$]\alpha[/$].
A: [$$] c = \frac{a}{\cos \alpha}[/$$]

Q: Surface d'un disque.
A: [$$] S = \pi\, r^2 [/$$]
avec [$]r[/$] le rayon du disque.

Q: Surface d'une sphère.
A: [$] S = 4\, \pi\, r^2 [/$] avec [$]r[/$] le rayon de la sphère.

Q: Volume d'une sphère.
A: [$$] V = \frac{4}{3}\, \pi\, r^3 [/$$]
avec [$]r[/$] le rayon de la sphère.

Q: Surface latérale d'un cylindre.
A: [$] S = 2\, \pi\, r\, h [/$] avec [$]r[/$] le rayon du cylindre et [$]h[/$] sa hauteur.

Q: [$$] A = \left( \begin{array}{c}
x_A \\
y_A \\
z_A
\end{array} \right) \qquad \text{et} \qquad
B = \left( \begin{array}{c}
x_B \\
y_B \\
z_B
\end{array} \right)
[/$$]
Quelle est la distance entre [$]A[/$] et [$]B[/$]?
A: [$$] AB = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 } [/$$]

Q: Développement limité du sinus en 0.
A: [$$] \sin x \approx x [/$$]
pour [$]x[/$] proche de [$]0[/$]. Plus précisément
[$$] \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} [/$$]

Q: Développement limité du cosinus en 0.
A: [$$] \cos x \approx 1 [/$$]
pour [$]x[/$] proche de [$]0[/$]. Plus précisément
[$$] \cos x \approx 1  - \frac{x^2}{2} [/$$]

Q: Développement limité de [$] \sqrt{ 1 + \varepsilon } [/$] pour [$]\varepsilon[/$] proche de [$]0[/$].
A: [$$] \sqrt{1 + \varepsilon} = 1 + \frac{1}{2}\, \varepsilon [/$$]
pour [$] \varepsilon [/$] proche de [$]0[/$]. Plus précisément,
[$$] \sqrt{1 + \varepsilon} = 1 + \frac{1}{2}\, \varepsilon - \frac{1}{8}\, \varepsilon^2 [/$$]

Q: Développement limité de [$](1 + x)^\alpha[/$] pour [$]x[/$] proche de [$]0[/$].
A: [$$](1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\, x [/$$]
pour [$]x[/$] proche de [$]0[/$]. Plus précisément,
[$$](1 + x)^\alpha = 1 + \alpha\, x  + \frac{\alpha\, (\alpha -1)}{2}\, x^2 [/$$]

Q: Quelle est la direction d'un vecteur surface élémentaire [$]\overrightarrow{\text{d} S}[/$] ?
A: Ce vecteur est normal à la surface qui l'engendre.

Q: Projeter [$]\overrightarrow{f_{ie}} = - m\, a_e\, \overrightarrow{e_x} [/$].
A: [$$] \overrightarrow{f_{ie}} = -m\, a_e\, \sin \theta\, \overrightarrow{e_r} - m\, a_e\, \cos \theta\, \overrightarrow{e_\theta} [/$$]

Q: Quel est le moment du poids en O?
A: [$$] \overrightarrow{\mathcal{M}}_O(\overrightarrow{P}) = m\, g\, \ell\, \sin \theta\, \overrightarrow{e_y} [/$$]

Q: Que vaut l'accélération sur une trajectoire circulaire uniforme?
A: [$$] \overrightarrow{a} = - \frac{v^2}{r}\, \overrightarrow{e_r} [/$$]

Q: Quelle est la solution de
[$$] y' + a(t)\, y = 0 [/$$]
A: [$$] y(t) = y_0\, \exp \big(- A(t) \big) [/$$]
avec [$]A(t)[/$] une primitive de [$]a(t)[/$] et [$]y_0[/$] se détermine par une condition initiale.

Q: Résoudre par séparation des variables
[$$] \frac{\text{d} y}{\text{d} t} = \frac{y}{t} [/$$]
A: On sépare les variables : on met tout ce qui est en [$]y[/$] d'un côté et tout ce qui est en [$]t[/$] de l'autre.
[$$] \frac{\text{d} y}{y} = \frac{\text{d} t}{t} [/$$]
et on intègre
[$$] \ln \Big( \frac{y(t)}{y_0} \Big) = \ln \Big( \frac{t}{t_0} \Big) [/$$]
d'où
[$$] y(t) = y_0\, \frac{t}{t_0} [/$$]

Q: Déterminer [$]f(x)[/$] telle que
[$$] \frac{\text{d}^2 f}{\text{d} x^2} = 0. [/$$]
A: [$$] f(x) = A\, x + B [/$$]
avec [$]A[/$] et [$]B[/$] des constantes d'intégration à déterminer par des conditions aux limites.

Q: Donner les primitives de
[$$]f (x) = \frac{1}{x^\alpha} [/$$]
A: Si [$]\alpha \neq 1[/$], une primitive de [$]f[/$] est
[$$]F(x) = -\frac{1}{\alpha-1}\, \frac{1}{x^{\alpha-1}} + C [/$$]

Q: Que vaut la force de pression que l'eau exerce sur un barrage droit :
[$$] F = L\, \int_0^h \Big( P_0 + \varrho\, g\, z \Big)\, \text{d}z [/$$]
(axe [$]z[/$] vers le bas et [$]z=0[/$] désigne l'interface avec l'air).
A: [$$]F = L\, P_0\, h + L\, \varrho\, g\, \frac{h^2}{2} [/$$]
Notez que la première partie [$]P_0\, L\, h[/$] est compensée par l'air à [$]P_0[/$] qui pousse de l'autre côté du barrage.

Q: [$$]\int_0^\pi \cos \theta \sin^2 \theta \, \text{d} \theta [/$$]
A: [$$] = \left[ \frac{\sin^3 \theta}{3} \right]_0^\pi = 0 [/$$]

Q: Quelles différence faites-vous entre [$]\mathrm{d}^2 m[/$], [$]\mathrm{d} m^2[/$] et [$](\mathrm{d} m)^2[/$] si [$]m[/$] est une masse par exemple?
A: [$](\mathrm{d} m)^2[/$] est une variation élémentaire (=infinitésimale) (d'ordre 1) de la masse, évaluée au carré. C'est [$]\mathrm{d} m \times \mathrm{d} m[/$].
[$]\mathrm{d}^2 m[/$] est une variation élémentaire d'ordre 2, par exemple parce qu'elle est proportionnelle à deux variations d'ordre 1, comme [$]\mathrm{d} x\, \mathrm{d} t[/$].
[$]\mathrm{d} m^2[/$] est une variation élémentaire (d'ordre 1) de [$]m^2[/$]. On a donc
[$$]\mathrm{d} m^2 = 2\, m\, \mathrm{d} m[/$$]
par propriété des dérivées.

Q: À quoi sert la notation complexe de grandeurs en physique?
A: Lorsqu'une grandeur est sinusoïdale, la notation complexe permet de transformer les équations différentielles en équation algébriques.
Par exemple,
[$$] \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + \frac{u}{\tau} = \frac{E}{\tau} [/$$]
devient, pour [$]\underline{u} = \underline{u}_0\, \mathrm{e}^{\mathrm{j}\, \omega\, t}[/$] et [$]\underline{E} = E_0\, \mathrm{e}^{\mathrm{j}\, \omega\, t}[/$]
[$$]\bigg( \mathrm{j}\, \omega + \frac{1}{\tau} \bigg)\, \underline{u}_0 = \frac{E_0}{\tau} [/$$]
soit
[$$]\underline{u}_0 = \frac{E_0}{1 + \mathrm{j}\, \omega\, \tau }[/$$]

Q: Valeur moyenne temporelle de
[$$]x \to \cos^2 x[/$$]
Et de
[$$]x \to \cos x\, \sin x[/$$]
A: On a
[$$] \langle \cos^2 x \rangle = \frac{1}{2}[/$$]
et
[$$] \langle \cos x\, \sin x \rangle = 0 [/$$]

Q: Que vaut l'accélération convective pour un champ de vitesse
[$$]\overrightarrow{v} = v(x,\, t)\, \overrightarrow{u_x} [/$$]
A: [$$]\Big( \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{grad}} \Big)\, \overrightarrow{v} = v(x,\, t)\, \frac{\partial v(x,\, t)}{\partial x}\, \overrightarrow{u_x}[/$$]

Q: Racine de [$] k^2 = \dfrac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2}[/$]
A: Deux cas,
1. si [$]\omega > \omega_p[/$], alors
[$$]k = \pm\, \frac{\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{c}[/$$]
2. sinon si [$]\omega < \omega_p[/$], alors
[$$] k = \pm\, \text{j}\, \frac{\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}}{c}[/$$]

Q: Pour un champ unidirectionnel [$]\vv{\jmath} = j(x,\, t)\, \vv{e_x}[/$], que vaut [$]\text{div} \vv{\jmath}[/$] ?
A: [$$] \text{div} \vv{\jmath} = \frac{\partial j}{\partial x} [/$$]

Q: Projeter [$]\vv{e_r}[/$] et [$]\vv{e_\theta}[/$] sur [$]\vv{e_x}[/$] et [$]\vv{e_y}[/$]
A: [$$] \vv{e_r} = \cos \theta\, \vv{e_x} + \sin \theta\, \vv{e_y} [/$$]
et
[$$] \vv{e_\theta} = -\sin \theta\, \vv{e_x} + \cos \theta\, \vv{e_y} [/$$]

Q: Obtenir [$]\vv{v}[/$] sachant que
[$$] \frac{\partial \vv{v}}{\partial t} = \frac{k\, S_0}{\mu_0\, r}\, \sin(\omega\, t - k\, r)\, \vv{e_r} [/$$]
A: On intègre par rapport au temps sans oublier la constante d'intégration
[$$] \vv{v} =  - \frac{k\, S_0}{\mu_0\, \omega\, r}\, \cos(\omega\, t - k\, r)\, \vv{e_r} + \vv{\text{Cste}}(r) [/$$]

Q: Quelles sont les solutions des équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients constants?
A: Ce sont les fonctions exponentielles
[$$] f(x) = A\, \exp (\lambda\, x) [/$$]
où [$]\lambda[/$] est une racine du polynôme caractéristique de l'équation. Pour une équation d'ordre [$]n[/$], il y a [$]n[/$] racines complexes donc la solution homogène générale est
[$$]f(x) = \sum_{i=1}^n A_i\, \exp( \lambda_i\, x) [/$$]
Les constantes d'intégration [$]A_i[/$] se déterminent par des conditions aux limites (si variable spatiale) / conditions initiales (si variable temporelle).

Q: La dynamique de la vidange d'un grand récipient dans le modèle de Torricelli est donnée par
[$$]\frac{\dd h}{\dd t} = - \frac{s}{S}\, \sqrt{2\, g\, h} [/$$]
Comment résout-on cette équation?
A: C'est une équation différentielle ordinaire du premier ordre non linéaire. On la résout par séparation des variables :
[$$] \frac{\dd h}{\sqrt{h}} = - \frac{s}{S}\, \sqrt{2\, g}\, \dd t [/$$]
soit, en intégrant de [$]t=0[/$] à [$]t[/$],
[$$] 2\, \big( \sqrt{h(t)} - \sqrt{h(0)}\, \big) = - \frac{s}{S}\, \sqrt{2\, g}\, t[/$$]