Title: Mécanique des fluides

Q: Équation de conservation de la masse en mécanique des fluides
A: [$$] \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \text{div} \overrightarrow{\jmath} = 0 [/$$]
avec [$] \overrightarrow{\jmath} = \varrho\, \overrightarrow{v} [/$]

Q: Qu'est-ce que le potentiel des vitesses?
A: C'est le champ scalaire [$]\varphi[/$] tel que
[$$] \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{grad}}\, \varphi [/$$]
Il n'est défini que pour les écoulements irrotationnels (appelés aussi écoulements potentiels)
[$$] \overrightarrow{\text{rot}} \, \overrightarrow{v}  = \overrightarrow{0} [/$$]

Q: Qu'est-ce que le débit massique [$]D_m[/$] à travers une surface [$] \mathcal{S} [/$]?
A: C'est la masse de fluide qui traverse [$]\mathcal{S}[/$] par unité de temps.
Pendant [$]\text{d}t[/$], la masse [$]\text{d}m[/$] de fluide qui traverse [$]\mathcal{S}[/$] est
[$] \text{d}m = D_m\, \text{d}t [/$]
Le débit massique est le flux du vecteur densité surfacique de courant [$]\overrightarrow{\jmath} [/$]à travers [$] \mathcal{S} [/$]
[$$]D_m = \iint_\mathcal{S} \overrightarrow{\jmath}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} S} [/$$]
où
[$$] \overrightarrow{\jmath} = \varrho\, \overrightarrow{v} [/$$]

Q: Quelles sont les hypothèses du théorème de Bernoulli étendu?
A: 1. Fluide homogène ([$]\varrho[/$] uniforme)
2. Fluide parfait
3. Écoulement incompressible
4. Écoulement stationnaire
5. Écoulement irrotationnel

Q: Écrire l'équation d'Euler.
A: [$$] \varrho \Big( \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} +  \big( \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{grad}} \big)\, \overrightarrow{v} \Big) = - \overrightarrow{\text{grad}} P + \overrightarrow{f_v} [/$$]
où [$] \overrightarrow{f_v} [/$] sont les forces volumiques.

Q: Écrire l'accélération d'une particule de fluide.
A: [$$] \overrightarrow{a} = \frac{D \overrightarrow{v}}{D t} = \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \Big(\overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{grad}} \Big)\, \overrightarrow{v} [/$$]

Q: Écrire l'équation de la statique des fluides.
A: [$$] \overrightarrow{\text{grad}}\, P = \overrightarrow{f_v} [/$$]
où [$] \overrightarrow{f_v} [/$] sont les forces volumiques. Si il n'y a que le poids,
[$$] \overrightarrow{f_v} = \varrho\, \overrightarrow{g} [/$$]

Q: Quelle propriété vérifie le champ de vitesse dans un écoulement incompressible?
A: [$$] \text{div}\, \overrightarrow{v}\, = 0 [/$$]

Q: Équation d'état d'un fluide incompressible indilatable.
A: [$$] \varrho = \text{Cste} [/$$]

Q: Équation d'état d'un gaz parfait.
A: [$$] P\, V = n\, R\, T [/$$]

Q: Quel débit est conservé le long d'un tube de courant pour un écoulement incompressible?
A: Le débit volumique.

Q: Quel débit est conservé le long d'un tube de courant pour un écoulement stationnaire?
A: Le débit massique.

Q: Définition du nombre de Reynolds.
A: [$$] \mathcal{R}_e = \frac{\varrho\, L\, V}{\eta} [/$$]

Q: Unité du débit volumique.
A: [$$] \text{m}^3\, \cdot\, \text{s}^{-1} [/$$]

Q: Unité de la viscosité [$]\eta[/$].
A: Le Poiseuille Pl, avec  1 Pl = 1 Pa [$]\cdot[/$] s.

Q: Définition du coefficient de trainée.
A: La force de trainée est en norme
[$$] F = \frac{1}{2}\, \varrho\, S\, C_x\, v^2 [/$$]
ce qui définit [$]C_x[/$].

Q: Énoncer les hypothèses du théorème de Bernoulli restreint à une ligne de courant.
A: 1. Fluide parfait
2. Fluide homogène
3. Écoulement incompressible
4. Écoulement stationnaire

Q: Qu'est-ce qu'une particule de fluide?
A: Un volume de fluide à l'échelle mésoscopique, qui est de masse constante par définition. C'est l'équivalent pour la mécanique des fluides du point matériel de la mécanique du point.

Q: Définition d'une force de pression qui s'exerce sur une surface [$]\mathcal{S}[/$]
A: [$$] \overrightarrow{F} = \iint_\mathcal{S} P\, \overrightarrow{\text{d} S} [/$$]
avec [$]P[/$] le champ de pression. Si la pression est uniforme, on en déduit
[$$] \overrightarrow{F} = P\, S\, \overrightarrow{n} [/$$]
avec [$]\overrightarrow{n}[/$] le vecteur unitaire normal à [$]\mathcal{S}[/$], dans le sens du fluide vers le solide.

Q: Le champ de pression dans un gaz parfait en évolution isotherme est
[$$] P(z) = P_0\, \exp \Big( - \frac{m\, g\, z}{k_B\, T} \Big) [/$$]
Comment s'appelle le terme exponentiel? Que représente-t-il?
A: Ce terme est appelé un poids de Boltzmann. Il traduit la compétition entre l'énergie potentielle de pesanteur
[$$] m\, g\, z [/$$]
et l'énergie d'agitation thermique
[$$] k_B\, T [/$$]

Q: Expression de la poussée d'Archimède.
A: [$$] \overrightarrow{\pi} = - \varrho_f \, V \overrightarrow{g} [/$$]
avec [$]\varrho_f[/$] la masse volumique du fluide et [$]V[/$] le volume de l'objet. La poussée d'Archimède est l'opposé du poids du fluide déplacé.

Q: Comment résout-on cette équation
[$$]\eta\, \frac{1}{r}\, \frac{\text{d}}{\text{d} r}\, \Big( r\, \frac{\text{d} v(r)}{\text{d} r} \Big) = \frac{\text{d} P(z)}{\text{d} z} [/$$]
qui apparaît dans le calcul de l'écoulement de Poiseuille?
A: On remarque que le membre de gauche ne dépend que de [$]r[/$] tandis que celui de droite ne dépend que de [$]z[/$]. On a donc une égalité entre deux fonctions qui ne dépendent pas de la même variable : elles sont forcément égales.
[$$] \left\lbrace \begin{array}{r c l}
\eta\, \frac{1}{r}\, \frac{\text{d}}{\text{d} r}\, \Big( r\, \frac{\text{d} v}{\text{d} r} \Big) & = & A \\[4mm]
\frac{\text{d} P}{\text{d} z} & = & A
\end{array} \right.
[/$$]

Q: Énoncer le théorème de Bernoulli restreint à une ligne de courant.
A: Pour un fluide parfait et homogène, et pour un écoulement stationnaire et incompressible, on a
[$$]\frac{1}{2}\, v^2 + \frac{P}{\varrho} + g\, z = \text{Cste} [/$$]
sur une ligne de courant (avec l'axe [$]z[/$] est vers le haut).

Q: Comment varie le coefficient de trainée en fonction du nombre de Reynolds?
A: À bas Reynolds ([$]\ll 100[/$]) le coefficient de trainée évolue comme
[$$] C_x \propto \frac{1}{R_e} [/$$]
et à haut Reynolds ([$]\gg 100[/$]) il est constant
[$$]C_x  = \text{Cste} [/$$]

Q: Écrire l'équivalent volumique des forces de pression.
A: [$$] - \overrightarrow{\text{grad}} P [/$$]
et ne pas oublier le signe [$]-[/$] !

Q: Équivalent volumique des forces de viscosité pour un fluide newtonien en écoulement incompressible.
A: [$$] \eta\, \Delta \overrightarrow{v} [/$$]

Q: Comment justifie-t-on l'hypothèse de stationnarité dans l'étude de la vidange de Torricelli?
A: Par conservation du débit volumique, la vitesse au niveau de la surface libre est reliée à celle au niveau de la fuite
[$$] V\, S = v\, s [/$$]
et puisque la section de la fuite [$]s[/$] est très petite devant la surface du récipient [$]S[/$], on a
[$$] V \ll v [/$$]
et on peut donc écrire en première approximation
[$$] V \approx 0 [/$$]

Q: Qu'est-ce que le point d'arrêt dans l'étude du tube de Pitot?
A: C'est la pointe du tube de Pitot : la vitesse du fluide y est nulle car l'air ne rentre pas dans le tuyau.

Q: Que dit grossièrement le théorème de Bernoulli? Illustrer par des exemples.
A: Le théorème de Bernoulli permet de comprendre qualitativement que les zones de fortes vitesses sont les zones de faibles pressions et inversement.
Cela permet de comprendre la portance des avions, l'arrachement des toits des maisons lors d'une tornade, et aussi la sustentation d'une balle de ping-pong dans le flux d'un sèche cheveu, l'effet Magnus pour les balles de tennis...

Q: Pourquoi les balles de golf sont-elles alvéolées?
A: Pour diminuer la force de trainée et ainsi augmenter la distance parcourue en l'air.
Les alvéoles provoquent la crise de la trainée en créant de la turbulence dans la couche limite, ce qui fait diminuer le coefficient de trainée [$]C_x[/$]. C'est ce qu'on observe à grand Reynolds sur l'abaque ci-dessous.

Q: Quelle propriété vérifie le champ de pression dans un fluide parfait en écoulement unidirectionnel?
A: Le champ de pression évolue comme en statique dans les directions orthogonales à l'écoulement (c'est par exemple le cas dans un tube de Venturi).

Q: À partir de quel Reynolds peut-on considérer qu'un écoulement est turbulent?
A: Un écoulement est turbulent pour un Reynolds typiquement au delà de 2000.

Q: Donner des exemples d'écoulements laminaires.
A: Un écoulement laminaire est un écoulement à petit nombre de Reynolds. C'est donc un écoulement à faible vitesse, sur des petites distances, pour un fluide très visqueux.
Par exemple : l'écoulement de sang dans les petits vaisseaux sanguins, un écoulement de miel, un écoulement de glacier, une bille qui tombe dans du glycérol...

Q: Que vaut la viscosité de l'eau?
A: [$$]\eta_\text{eau} \approx 10^{-3} \text{ Pl}[/$$]
Notons qu'elle dépend un peu de la température. Elle diminue quand la température augmente.

Q: Que vaut la masse volumique de l'eau?
A: [$$] \varrho = 10^3 \text{ kg}\, \cdot\, \text{m}^{-3} [/$$]

Q: Que vaut la masse volumique de l'air?
A: [$$]\varrho = 1,\! 3 \text{ kg}\, \cdot\, \text{m}^{-3} [/$$]
dans les conditions normales de températures et de pression.

Q: Quelles sont les conditions aux limites pour un fluide visqueux?
A: Il y a continuité du vecteur vitesse, et continuité de la pression (si on néglige les effets de tension superficielle).
Notamment, la vitesse du fluide est nulle au contact d'une paroi fixe.

Q: Comment se traduit l'incompressibilité d'un écoulement de la forme
[$$] \overrightarrow{v} = v(x,\, z)\, \overrightarrow{e_x} [/$$]
A: Un écoulement incompressible est caractérisé par
[$$] \text{div} \overrightarrow{v} = 0 [/$$]
soit, puisqu'on travaille en coordonnées cartésiennes,
[$$] \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 [/$$]
et ici on déduit
[$$] \frac{\partial v}{\partial x} = 0 [/$$]
donc [$]\overrightarrow{v}[/$] est indépendant de [$]x[/$]. Finalement,
[$$] \overrightarrow{v} = v(z)\, \overrightarrow{e_x} [/$$]

Q: Quelle est la définition de la circulation [$]\Gamma[/$]du champ de vitesse sur un contour [$]\mathcal{C}[/$]?
A: C'est l'intégrale de son produit scalaire avec [$]\overrightarrow{\text{d} \ell}[/$] :
[$$] \Gamma = \int_\mathcal{C} \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} \ell} [/$$]

Q: Peut-on appliquer le théorème de Bernoulli en présence d'une turbine par exemple?
A: Non car le fluide fournit de l'énergie à la turbine, et que ce transfert énergétique n'est pas pris en compte dans le théorème de Bernoulli.
Le théorème de Bernoulli énonce la conservation de l'énergie (massique) dans un fluide parfait, mais l'énergie n'est évidemment plus conservée si elle est transmise à une pompe, ou turbine, ou autre chose encore...

Q: Que vaut le débit volumique à travers la sphère de rayon [$]r[/$] pour un champ de vitesse
[$$]\overrightarrow{v} = v(r,\, t)\, \overrightarrow{e_r}[/$$] ?
A: [$$]\begin{array}{r c l}
D_V & = & \displaystyle \varoiint_r \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} S}  \\[4mm]
 & = & \displaystyle \varoiint_r v(r,\, t)\, \text{d} S \\[4mm]
 & = & v(r,\, t) \displaystyle \varoiint_r \text{d} S \\[4mm]
 & = & 4\, \pi\, r^2\, v(r,\, t)
\end{array}
[/$$]
La première égalité est la définition du débit volumique, la seconde vient du fait que [$]\overrightarrow{\text{d} S} = \text{d} S\, \overrightarrow{e_r} [/$] car un vecteur [$]\overrightarrow{\text{d} S}[/$] est toujours orthogonal à la surface qui l'engendre, la troisième car [$]v(r,\, t)[/$] est constante sur la surface d'intégration et enfin la dernière écrit que la surface d'une sphère de rayon [$]r[/$] est [$]4\, \pi\, r^2[/$].

Q: Quel type de bilan faut-il faire pour déterminer la force qu'un écoulement exerce sur un système?
A: On fait dans ce cas un bilan de quantité de mouvement.

Q: Quel type de bilan faut-il faire pour déterminer la puissance qu'un écoulement fournit à un système?
A: Il faut faire un bilan d'énergie cinétique.

Q: Quelles sont les quatre étapes d'un bilan macroscopique?
A: 1. On définit le système de travail. C'est un système ouvert. En pratique un dessin suffit.
2. On ferme ce système ouvert. Cela revient à faire deux dessins, l'un à [$]t[/$], l'autre à [$]t+ \text{d} t[/$]. L'intérêt est de pouvoir ensuite (étape 4) appliquer un théorème de la physique sur ce système fermé.
3. On calcule la variation de la quantité d'intérêt pour le système fermé (quantité de mouvement pour déterminer une force, énergie cinétique pour déterminer une puissance).
4. On applique un théorème de la physique au système fermé (théorème du centre de masse pour déterminer une force, théorème de la puissance cinétique pour déterminer une puissance).

Q: Qu'est-ce que la quantité de mouvement?
A: Le produit de la masse par la vitesse
[$$]\overrightarrow{p} = m\, \overrightarrow{v}[/$$]

Q: Rappeler le théorème du centre de masse.
A: [$$] m\, \overrightarrow{a_G}\   \bigg(\! = \frac{\dd \vv{P_G}}{\dd t} \bigg) = \sum \overrightarrow{F_\text{ext}} [/$$]
où [$]\overrightarrow{a_G}[/$] est l'accélération du centre de masse du système, et [$]\vv{P_G} =m\, \vv{v_G}[/$] sa quantité de mouvement. C'est l'équivalent du PFD pour un système (le PFD s'applique seulement à un point matériel). Notez que seules les forces extérieures interviennent.

Q: Que peut-on dire de la puissance des forces intérieures dans un fluide parfait?
A: Elle est nulle
[$$]\mathcal{P}_\text{int} = 0[/$$]

Q: Comment s'écrit le théorème de la puissance cinétique pour un système?
A: [$$]\frac{\text{d} E_c}{\text{d} t} = \sum \Big(\mathcal{P}_\text{ext} + \mathcal{P}_\text{int}\Big) [/$$]

Q: Quelle différence y a-t-il entre le débit volumique et le débit massique?
A: A priori il n'y a pas de relation directe entre les deux
[$$] D_m = \iint_S \varrho\, \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} S} \qquad \text{et} \qquad D_v =  \iint_S \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} S} [/$$]
Par contre, dans le cas où [$]\varrho[/$] est constant sur la surface d'intégration (c'est le cas si l'énoncé précise [$]\varrho[/$] uniforme, ou [$]\varrho=\text{Cste}[/$]), on a
[$$]D_m = \varrho\, D_v[/$$]

Q: Dans l'étude du tube de Venturi, comment justifie-t-on que la vitesse est plus grande dans la zone étroite?
A: L'eau est un fluide incompressible donc l'écoulement est incompressible forcément. Il y a par conséquence conservation du débit volumique le long d'un tube de courant. Le tube de Venturi lui-même étant un tube de courant, on a
[$$]\iint \overrightarrow{v}\, \cdot\, \overrightarrow{\text{d} S} = \text{Cste} [/$$]
En supposant la vitesse uniforme [$]\overrightarrow{v} = v(x,\, t)\, \overrightarrow{e_x}[/$], on calcule
[$$] v\, S = \text{Cste} [/$$]
Donc dans la zone étroite où [$]S[/$] diminue, il faut par conservation du débit que la vitesse [$]v[/$] augmente.

Q: Comment dresse-t-on un bilan à l'échelle mésoscopique?
A: On se base sur le "principe du porte-monnaie" :
1) on calcule la variation temporelle de la grandeur entre [$]t[/$] et [$]t + \mathrm{d} t[/$]. Cela correspond à " l'argent que j'ai dans mon porte-monnaie le soir moins l'argent que j'avais déjà le matin".
2) On calcule cette même variation d'une autre manière, en comptant les échanges (=avec l'extérieur) entrants, les échanges sortants, et si elles existent les créations ou annihilation de la grandeur entre [$]t[/$] et [$]t + \mathrm{d} t[/$]. Cela correspond à " tous les échanges positifs ou négatifs effectués dans la journée ".
Notons que cette méthode rencontrée dans le chapitre H1 est équivalente aux bilans macroscopiques vus au chapitre H4. Ce sont juste deux manières différentes de dresser le même calcul.